▷ Binarni, decimalni, oktalni in šestnajstiški sistem, kaj je in kako deluje

Če ste študent računalništva, elektronike ali katere koli veje inženirstva, bi morali vedeti, da morate izvesti številčne sistemske pretvorbe. Pri računanju se uporabljeni sistemi oštevilčevanja razlikujejo od tistega, kar tradicionalno poznamo, kot je tudi naš decimalni sistem. Zato bomo zelo verjetno, če se bomo posvetili področju tako računalništva, programiranja in podobne tehnologije, morali poznati najbolj uporabljene sisteme in kako vedeti, kako pretvoriti iz enega sistema v drugega.

Kazalo vsebine

Kako izvesti pretvorbe sistema številčenja

Še posebej koristno je poznati pretvorbeni sistem Decimal to Binary in obratno, saj gre za sistem številčenja, s katerim komponente računalnika neposredno delujejo. Zelo koristno pa je poznati tudi šestnajstiški sistem, saj se na primer uporablja za predstavljanje barvnih kod, tipk in velikega števila kod naše ekipe.

Sistemi oštevilčenja

Sistem oštevilčevanja predstavlja predstavitev niza simbolov in pravil, ki nam omogočajo, da sestavimo veljavne številke. Z drugimi besedami, sestoji iz uporabe niza omejenih simbolov, s katerimi bo mogoče brez omejitev oblikovati druge številčne vrednosti.

Ne da bi se preveč spuščali v matematične opredelitve, bodo sistemi, ki jih ljudje in stroji najbolj uporabljajo:

Decimalni sistem

Gre za sistem pozicioniranja, v katerem so količine predstavljene z aritmetično bazo številke deset.

Ker je osnova številka deset, bomo lahko vse številke sestavili s pomočjo desetih števil, ki jih poznamo vsi. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9. Te številke bodo uporabljene za prikaz položaja moči 10 pri oblikovanju poljubnega števila.

Torej, lahko v tem številčnem sistemu predstavljamo številko na naslednji način:

Vidimo, da je decimalno število vsota vsake vrednosti za osnovo 10, dvignjeno na položaj-1, ki ga zaseda vsak izraz. To bomo upoštevali pri pretvorbah v drugih sistemih oštevilčenja.

Binarni sistem

Binarni sistem je sistem oštevilčevanja, v katerem se uporablja aritmetična osnova 2. Ta sistem je računalnik in digitalni sistem, ki ga notranje uporabljajo za izvajanje vseh procesov.

Ta sistem oštevilčevanja predstavljata samo dve števki, 0 in 1, zato temelji na 2 (dve števki), z njim pa bodo zgrajene vse vrednostne verige.

Oktalni sistem

Kot pri prejšnjih razlagah si že lahko predstavljamo, kaj gre za oktalni sistem. Octal sistem je sistem oštevilčevanja, v katerem se uporablja aritmetična osnova 8, to pomeni, da bomo imeli 8 različnih števk, ki bodo predstavljali vsa števila. To bodo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 in 7.

Šestnajstiški sistem

Po prejšnjih definicijah je sistem decimalnega oštevilčenja pozicijski sistem oštevilčenja, ki temelji na številki 16. Na tem mestu se bomo vprašali, kako bomo dobili 16 različnih števil, če je na primer 10 kombinacija dveh števil drugačna?

No, zelo preprosto, izmislili smo jih ne mi, ampak tisti, ki so izumili zadevni sistem. Številke, ki jih bomo imeli tukaj, bodo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E in F. to pomeni skupno 16 različnih izrazov. Če ste kdaj nastavili številčno kodo barve, ima to vrsto oštevilčenja in zato boste videli, kako je na primer bela predstavljena kot vrednost FFFFFF. Kasneje bomo videli, kaj to pomeni.

Pretvorba med binarnim in decimalnim sistemom

Ker je to najbolj osnovno in enostavno razumeti, bomo začeli s pretvorbo med tema dvema sistemoma številčenja.

Pretvori številko iz binarnega v decimalno

Kot smo videli v prvem razdelku, si predstavljamo decimalno število kot vsoto vrednosti, pomnoženo z močjo 10, na položaj-1, ki ga zaseda. Če to uporabimo za katero koli binarno številko s pripadajočo bazo, bomo imeli naslednje:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 0 0

Seveda pa bi, če bi naredili postopek kot v decimalnem sistemu, dobili vrednosti, ki niso 0 in 1, ki so tiste, ki jih lahko predstavljamo le v tem sistemu oštevilčenja.

Toda ravno to bo zelo koristno za izvedbo pretvorbe v decimalni sistem. Izračunamo rezultat vsake vrednosti v svojem polju:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

No, če iz vsake celice naredimo vsoto teh vrednosti, dobimo decimalno ekvivalentno vrednost binarne vrednosti.

Decimalna vrednost 100110 je 38

Številko (0 ali 1) moramo pomnožiti le z osnovo (2), dvignjeno na položaj-1, ki ga zasede na sliki. Vrednosti dodamo in število bomo imeli v decimalkah.

Če se niste prepričali, bomo zdaj izvedli nasprotni postopek:

Pretvorite decimalno številko v dvojiško

Če smo prej določili množitev števil in vsoto za določitev decimalne vrednosti, bomo morali decimalno številko razdeliti na osnovo sistema, v katerega ga želimo pretvoriti, v tem primeru 2.

Ta postopek bomo izvajali, dokler ne bo več mogoče izvesti nadaljnjih delitev. Poglejmo primer, kako bi bilo to storiti.

Številka	38	19	9	4	2	1
Divizije	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Počivaj	0	1	1	0	0	1

To je rezultat zmanjšanja zaporednih delitev. Morda ste že spoznali, kako to deluje. Če zdaj vzamemo ostanke vsake delitve in obrnemo njen položaj, dobimo binarno vrednost decimalnega števila. To je začelo od tam, kjer smo delitev končali nazaj:

Torej imamo naslednji rezultat: 100110

Kot lahko vidimo, nam je uspelo imeti popolnoma enako številko kot na začetku odseka.

Delna številka pretvorbe v decimalno številko

Kot dobro vemo, ni samo celih decimalnih števil, ampak lahko najdemo tudi realna števila (ulomke). Kot sistem oštevilčevanja bi moralo biti mogoče pretvoriti številko iz decimalnega sistema v dvojiški sistem. Vidimo, kako to storiti. Vzemimo za primer številko 38.375

Vsak del moramo ločiti. Že izračunamo celoštevilčni del, zato bomo prešli neposredno na decimalni del.

Postopek bo naslednji: vzeti moramo decimalni del in ga pomnožiti z bazo sistema, to je 2. Rezultat množenja moramo znova pomnožiti, dokler ne dobimo delnega dela 0. Če se pri pomnožitvi pojavlja frakcijsko število s celim delom, bomo morali vzeti ulomek le za naslednje množenje. Poglejmo primer, da ga bolje razumemo.

Številka	0, 375	0, 75	0, 50
Množenje	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Celoten del	0	1	1

Kot lahko vidimo, vzamemo decimalni del in ga ponovno množimo, dokler ne dosežemo 1.00, kjer bo rezultat vedno 0.

Rezultat 38.375 v binarni obliki bo nato 100 110.011

Toda kaj se zgodi, ko nikoli ne moremo doseči rezultata 1.00? Poglejmo primer z 38, 45

Številka	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
Množenje	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Celoten del	0	1	1	1	0	0	1

Kot lahko vidimo , od 0, 80 postopek postane periodičen, torej nikoli ne bomo končali postopka, ker se bodo vedno pojavljale številke od 0, 8 do 0, 4. Potem bo naš rezultat približek decimalnega števila, dlje ko gremo, večjo natančnost bomo dobili.

Torej: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Poglejmo, kako narediti obratni postopek

Pretvorjena delna binarna številka v decimalno

Ta postopek bo potekal na enak način kot običajna sprememba baze, le da bodo od vejice pooblastila negativna. Vzemimo le celoten del prejšnje binarne številke:

0	1	1	1	0	0	1	…
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0, 125	1 - 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0, 0078125	…

Če dodamo rezultate, bomo pridobili:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Če bi nadaljevali z izvajanjem operacij, bi se približali natančni vrednosti 38, 45

Pretvorba med oktalnim sistemom in binarnim sistemom

Zdaj bomo nadaljevali s prikazom pretvorbe med dvema sistemoma, ki nista decimalna, za to bomo vzeli oktalni sistem in binarni sistem in naredili bomo enak postopek kot v prejšnjih razdelkih.

Pretvori številko iz binarnega v osmero

Pretvorba obeh sistemov oštevilčevanja je zelo preprosta, ker je osnova osmega sistema enaka kot v binarnem sistemu, vendar je dvignjena na moč 3, 2 ³ = 8. Na podlagi tega bomo to, kar bomo storili, razvrstili binarne izraze v tri skupine, začenši z desne na levo in jih neposredno pretvorili v decimalno število. Poglejmo primer s številko 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Vsake tri števke združimo in pretvorbo naredimo v decimalno številko. Končni rezultat bo 100110 = 46

Kaj pa, če nimamo popolnih skupin po 3? Na primer 1001101, imamo dve skupini po 3 in ena od 1, poglejmo, kako naprej:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Po postopku vzamemo skupine od desne besede in ko pridemo do konca, napolnimo s toliko ničle, kot je potrebno. V tem primeru smo potrebovali dva za dokončanje zadnje skupine. Torej 1001101 = 115

Pretvori oktalno številko v dvojiško

No, postopek je tako preprost, kot da naredimo ravno nasprotno, to je, da gremo od binarnih do decimalnih v skupinah po 3. Poglejmo ga s številko 115

Vrednost	1	1	5
Divizije	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Počivaj	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Skupina	001	001	101

Na ta način vidimo, da je 115 = 001001101 ali kar je enako 115 = 1001101

Pretvorba med oktalnim sistemom in decimalnim sistemom

Zdaj si bomo ogledali, kako izvesti postopek prehajanja iz osmega številskega sistema v decimalno in obratno. Videli bomo, da je postopek popolnoma enak kot v primeru decimalnega in binarnega sistema, le osnova moramo spremeniti v 8 namesto v 2.

Postopke bomo izvajali neposredno z izrazi z delnim delom.

Pretvarjanje decimalne številke v osmero

Po postopku decimalno-binarne metode jo bomo izvedli s primerom 238.32:

Celoten del. Ločimo glede na osnovo, ki je 8:

Številka	238	29	3
Divizije	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Počivaj	6	5	3

Decimalni del pomnožimo z osnovo, to je 8:

Številka	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Množenje	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Celoten del	2	4	3	6	5	…

Dobljeni rezultat je naslednji: 238.32 = 356.24365…

Pretvori oktalno številko v decimalno številko

Torej, naredimo nasproten postopek. Oktalno številko 356.243 prestavimo v decimalno številko:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Rezultat je: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Pretvorba med šestnajstnim sistemom in decimalnim sistemom

Nato zaključimo s postopkom pretvorbe med šestnajstičnim številskim sistemom in decimalnim sistemom.

Pretvori decimalno številko v šestnajstiško

Po postopku decimalne-binarne in decimalno-oktalne metode jo bomo izvedli s primerom 238, 32:

Celoten del. Ločimo glede na osnovo, ki je 16:

Številka	238	14
Divizije	÷ 16 = 14	-
Počivaj	E	E

Decimalni del pomnožimo z osnovo, ki je 16:

Številka	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Množenje	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Celoten del	5	1	E	B	8	…

Dobljeni rezultat je naslednji: 238.32 = EE, 51EB8…

Pretvori številko iz šestnajstične v decimalno

Torej, naredimo nasproten postopek. Šestnajstično številko EE, 51E prestavimo v decimalno številko:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Rezultat je: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

No, to so glavni načini za spreminjanje baze iz enega sistema oštevilčevanja v drugega. Sistem je uporaben za sistem v kateri koli bazi in decimalnem sistemu, čeprav se te najbolj uporabljajo na področju računalništva.

Morda vas zanima tudi:

Če imate kakršna koli vprašanja, jih pustite v komentarjih. Poskušali vam bomo pomagati.